ডেকার্তে’র মাছি

ডেকার্তে’র মাছি

জনশ্রুতি আছে, তীব্র এক গরমের দিনে, বিছানায় শুয়ে ছাদের দিকে তাকিয়ে ছিলেন অসুস্থ ডেকার্তে—ক্লান্ত এক মাছি ছাদে ইতঃস্তত ঘোরাঘুরি করছে।

খুব মজা পেলেন ডেকার্টে, মনে মনে ভাবলেন, “বেচারা মাছিটি জানেও না, সে তার চলার পথে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার ফুটিয়ে তুলছে।”
খানিক পর মনে হলো, “ইসস, যদি কোনোভাবে মাছিটির বক্রপথের বিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করে তাদের অবস্থান মাপা যেত, তাহলে হয়তো তার চলার পথটিকেও গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা যেত।”

এক সময় হঠাৎ তিনি উপলব্ধি করলেন, আরে বিন্দুগুলোর অবস্থান তো খুব সহজেই মনে রাখা যায়! বিক্ষিপ্তভাবে ছাদের চার কোণা থেকে মাছির অবস্থান চিন্তা না করে, শুধু এক কোণা থেকে হিসেব করলেই তো হয়। এক কোণা থেকে বেরিয়ে যাওয়া, দেয়ালের দুই সংস্পর্শ লাইন থেকে দূরত্ব পরিমাপ করাই যথেষ্ট। তার মানে মাছিটি এক লাইন থেকে 3 ফুট, আরেক লাইন থেকে 4 ফুট দূরে হলে, মাছির অবস্থানকে সংক্ষেপে (3, 4) বললেই হবে। এভাবে মাছিটি কখনো (1, 1), (2, 1.5), (3, 3) এরূপ বিভিন্ন জায়গায় অব্স্থান করতে পারে। খাতায় দেয়ালের কোণা, লাইন এঁকে দেখালে ডেকার্তের মাছিটি দেখাবে:

ডেকার্তের নামানুসারে এর নাম কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা (Cartesian Coordinate System)। আয়তাকার বলে, একে আয়তিক স্থানাংক ব্যবস্থা (Rectangular Coordinate System)ও বলা হয়।

কার্তেসীয় ব্যবস্থায় কোনো বিন্দুর অবস্থান জানতে তুমি আনুভূমিক ও উলম্ব অক্ষ বরাবর দুটি দূরত্ব বের কর। পোলার স্থানাংক ব্যবস্থা (Polar Coordinate System) নামে আরেকটি স্থানাংক ব্যবস্থা আছে, যেখানে মূলবিন্দু থেকে কাঙ্ক্ষিত বিন্দুর সরাসরি দূরত্ব এবং সেটি কত কোণে আছে জানলেই চলবে। যেমন ধর, কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় একটি বিন্দু (3, 4), অর্থাৎ বিন্দুটি মূলবিন্দু থেকে 3-ঘর ডানে, তারপর 4-ঘর উপরে অবস্থিত। পোলার স্থানাংকে সেটি মূলবিন্দু থেকে r দূরত্বে এবং অনুভূমিকের সাথে α কোণে হলে,

পীথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে,

r^2 = 3^2 + 4^2

=> r^2 = 9 + 16

=> r^2 = 25

=> r = ±5

দূরত্ব যেহেতু ধনাত্মক, r = 5.

আর ত্রিকোণমিতির ট্যানজেন্ট সূত্র থেকে,

tanα = 4/3

=> tanα = 1.33…

এখন ক্যালকুলেটরের সাহায্যে পাও, α = 53.1 ডিগ্রি (প্রায়)। অথবা চাঁদার সাহায্যেও কোণটি মাপতে পার।

সুতরাং কার্তেসীয়ে (3, 4) যে কথা, পোলারে (5, 53.1ডিগ্রি) একই কথা। এর মানে হলো, অনুভূমিকভাবে 3 ঘর, তারপর উলম্বভাবে 4 ঘর গিয়ে তুমি যেখানে পৌঁছবে, অনুভূমিকের সাথে প্রায় 53.1 ডিগ্রি কোণে 5 ঘর গেলে সেই একই বিন্দুতে পৌঁছবে। এভাবে কোণ আর দূরত্ব জানলেও তুমি যেকোনো জায়গা বের করে ফেলতে পার।

Credit: Ganitpathsala