GOLDEN RATIO

 রহস্যময়তা কিংবা প্রায়োগিক দিক অথবা প্রকৃতির মাঝে খুঁজতে চাইলে সবচেয়ে বেশি এবং প্রকটভাবে ধরা পরবে গোল্ডেন রেশিও; এবং বার বার আমাদের চোখে আঙ্গুল দিয়ে স্মরণ করিয়ে দিবে তার শ্রেষ্ঠত্ব। একারনেই সর্বাধিক গবেষণা হয়েছে এই সংখ্যাটিকে নিয়ে।

যাকে নিয়ে এতো গবেষণা সেই Golden Ratio টা আসলে কী? এটা আসলে আর কিছুই নয়, একটা গাণিতিক অনুপাত মাত্র যার মান 1.618033988……। হ্যা ব্যাপারটা নির্মম হলেও সত্য যে এই Golden Ratio অন্য

ফিবোনাক্কি ধারার রহস্য পর্ব-২

গত পর্বে বলেছিলাম মৌমাছি আর খরগোসের জীবনে ফিবোনাক্কি ধারার কথা।আজ দেখি  আরোও মজার কিছু-

একটি গাছ কিভাবে বৃদ্ধি পায় তা খেয়াল করলে দেখব গাছ গুলোর ডাল পালা গজানোর একটা নিয়ম আছে, প্রতিটা শাখা তার আগের শাখার একটু উপরে থাকে এবং ঠিক একই জায়গায় কখনো দুইটা শাখা এক সাথে থাকে না, ঠিক নিচের ছবির মত-

ফিবোনাক্কি ধারার রহস্য পর্ব-১

 0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233 …………

উপরের ডিজিট গুলোর মাঝে একটা মজার ব্যাপার আছে, বলুন দেখি ব্যাপার টা কি? হ্যা, ধরে ফেলেছেন। এই ধারার প্রত্যেকটি ডিজিট তার আগের দুইটি ডিজিটের যোগফল। আর এই ধারাটাকেই বলা হয় ফিবোনাক্কি ধারা এবং আমি সহ অনেকের ধারনা ব্যাপক রহস্যময় ধারা।ইতালিয়ান গণিতবিদ লিউনার্দো ফিবোনাক্কি এই ধারাটি প্রকাশ করেন।

আনলাকি 13 ও মৌলিক সংখ্যার মধুর সম্পর্ক

 আনলাকি 13 ও মৌলিক সংখ্যার মধুর সম্পর্ক

গণিতের রাজ্যে মৌলিক সংখ্যা বা Prime Number একটি মজার বিষয়। নানান রহস্য লুকিয়ে আছে Prime Number এর মাঝে। আমরা সকলেই জানি যে, Prime Number হচ্ছে সেই সমস্ত সংখ্য যাদেরকে শুধুমাত্র সেই সংখ্যা ও ১ দিয়ে ভাগ করা যায়।

১।

১৩ একটি Prime Number, যার অবস্থান ৬ষ্ঠ।

রামানুজন সংখ্যা ১৭২৯

 রামানুজন সংখ্যা ১৭২৯

রামানুজন যার পুরো নাম শ্রীনিবাস রামানুজন আয়েংগার Srinivasa Ramanujan Aiyangar সর্বকালের শ্রেষ্ঠ একজন গণিতবিদ।  তিনি যখন যক্ষা রোগে আক্রান্ত হয়ে হাসপাতালে তখন তার সাথে দেখা করতে আসেন গণিতের আরেক মহারথী জি. এইচ. হার্ডি। কথা প্রসঙ্গে তিনি বললেন- আমি যে টেক্সিতে

Unique number

Unique number বা অদ্বিতীয় সংখ্যা কি জিনিস তার সংঙ্গা লিখতে গেলে খুব একটা শ্রুতিমধুর হবে না। তবুও এভাবে লেখা যেতে পারে- শুধুমাত্র ক্রমিক অংক বিশিষ্ট কোনো একটি সংখ্যা এবং তার রিভার্স সংখ্যার ব্যবধানই হচ্ছে Unique number। একটি উদাহরণ দিলেই বুঝা যাবে বিষয়টি।

উদাহরন ১:

দুইটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা ৪৫। এবার ৪৫-কে উলটে লিখলে পাওয়া যাবে ৫৪। এখন (৫৪-৪৫) = ৯।

দুইটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট যে কোনো সংখ্যার জন্যই ৯

Trimorphic number

Trimorphic number

যে সমস্ত সংখ্যার কিউবের শেষে সেই সংখ্যাটি থাকে তাদেরকে ট্রিমরফিক সংখ্যা (Trimorphic number) বলে।

যেকোনো একটি সংখ্যা নিন, তাকে কিউব করুন, যোমন : ৪^৩ = ৬৪।
যে সংখ্যাটিকে কিউব কররা হলো সেই সংখ্যাটিই দেখি উত্তরের সর্বশেষ অংক!!

সব সংখ্যার ক্ষেত্রেই কিন্তু এমনটা হয় না। যেমন ৭ দিয়ে করলে; ৭^৩ = ৩৪৩।
শেষে কিন্তু ৭ আসলো না।

তাঁদের ছোট ছোট গল্প

রামানুজনের ১৭২৯

হার্ডির সাথে কাজ করার সময় রামানুজন একবার অসুস্থ হয়ে পড়েন। তাঁকে হাসপাতালে দেখতে যান হার্ডি। কিন্তু ঢেকি তো স্বর্গে গেলেও ধান ভানে, আর হার্ডি তো গেছে কেবল হাসপাতালে। কী জিজ্ঞেস করবেন ব্যাটা তোর শরীর কেমন, কী খাবি এইসব- তার বালাই নেই, গিয়েই বলে বসলেন, “আজকে আমি যে

লেবেগ ইনটেগ্রেশন, রিমান ইনটেগ্রেশন, হেনরি লেবেগের উপমা

লেবেগ ইনটেগ্রেশন, রিমান ইনটেগ্রেশন, হেনরি লেবেগের উপমা

আমরা সবাই যারা সায়েন্স অথবা ইঞ্জিনীয়ারিং এ পড়ি ,তাদেরকে গণিত শিখতেই হয়, তারা সবাই ইনটেগ্রেশনের (সমাকলন) সাথে পরিচিত । ইনটেগ্রেশনের বাংলা করলে অর্থ দাঁড়াবে একত্র করা বা একীভূত করা (অনেক জিনিস কে একসাথে করা ) । ম্যাথমেটিক্সের ক্ষেত্রেও অনেকটা একই রকম অর্থে ইনটেগ্রেশনের কথা

ডেকার্তে’র মাছি

ডেকার্তে’র মাছি

জনশ্রুতি আছে, তীব্র এক গরমের দিনে, বিছানায় শুয়ে ছাদের দিকে তাকিয়ে ছিলেন অসুস্থ ডেকার্তে—ক্লান্ত এক মাছি ছাদে ইতঃস্তত ঘোরাঘুরি করছে।

খুব মজা পেলেন ডেকার্টে, মনে মনে ভাবলেন, “বেচারা মাছিটি জানেও না, সে তার চলার পথে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার ফুটিয়ে তুলছে।”

ভেক্টর গণিতজ্ঞ মৌমাছি

ভেক্টর গণিতজ্ঞ মৌমাছি

প্রতিদিন সকালে বেরিয়ে পড়ে অনুসন্ধানী (scout) মৌমাছি, উড়ে বেড়ায় এক ফুল থেকে আরেক ফুলে, যতক্ষণ না পর্যন্ত চমৎকার মানসম্পন্ন মধুর খোঁজ পায়। কাঙ্ক্ষিত ফুলের সন্ধান পাওয়ার পর আনন্দে আত্মহারা হয়ে সে ফিরে আসে মৌচাকে, অন্যদেরকে জানায় তার আবিষ্কারের কথা। প্রথমে সে বয়ে আনা

পারফেক্ট নাম্বার

পারফেক্ট নাম্বার

সেই সমস্ত সংখ্যাকে Perfect number বলা হয়, যখন সেই সংখ্যার সকল factor (সংখ্যা অপেক্ষা ছোট) গুলির সমস্টি সেই সংখ্যাটির সমান হয়।
যেমন ৬ একটি Perfect number, কারণঃ ৬ = ১+২+৩।
এমনি ভাবে আরো কিছু Perfect number এর উদাহরন হচ্ছে
২৮ = ১+২+৪+৭+১৪

গণিতের কৌতুক

গণিতের কৌতুক

১। “আপনারা বেশি বেশি করে নিজ নিজ জন্মদিন উদযাপন করুন, কারণ এটি প্রমাণিত যে জন্মদিন উদযাপনের সাথে দীর্ঘ জীবনের নিবিড় সম্পর্ক রয়েছে। পরিসংখ্যানে দেখা গেছে, যে সব মানুষ সবচেয়ে বেশি জন্মদিন পালন করেন, তারাই সবচেয়ে বেশি বছর বেঁচে থাকেন।”—পরিসংখ্যান বিষয়ে জনৈক ছাত্রের পিএইচডি গবেষণার ফল।

২। “পৃথিবীতে যত গাড়ি চোর আছে, তাদের ১০ শতাংশ বামহাতি। আবার পৃথিবীর সব মেরু

অমায়িক সংখ্যা (Amicable Number) এবং থাবিত ইবনে ক্বুররা’র সংখ্যা !

কে আমার বন্ধু?”
“বন্ধু হচ্ছে এমন একজন যে আসলে অন্য আমি, যেমন হচ্ছে গিয়ে ২২০ ও ২৮৪।”
“সংখ্যারা আবার কীভাবে বন্ধু হয়! ২২০ ও ২৮৪ এর ব্যাপারটিই বা কী?”
“আচ্ছা, শোনো তাহলে। ২২০ এর প্রকৃত উৎপাদকগুলি (proper factor) হল ১, ২, ৪, ৫, ১০, ১১, ২০, ২২, ৪৪, ৫৫, এবং ১১০। আর ২৮৪ এর প্রকৃত উৎপাদক হল ১, ২, ৪, ৭১, এবং ১৪২। ঠিক তো?”
“হ্যাঁ।”
“এবার দেখ, ১+২+৪+৫+১০+১১+২০+২২+৪৪+৫৫+১১০=২৮৪
এবং ১+২+৪+৭১+১৪২=২২০। আত্মায় আত্মায় মিলন না হলে কি এরূপ মিল সম্ভব? এ তো মানিক জোড়ের নমুনা! আর তাই ২২০ ও ২৮৪ হচ্ছে অমায়িক জোড় সংখ্যা(amicable pair)।

অমায়িক সংখ্যার ইতিহাস বেশ সুপ্রাচীন—বিশেষ করে যাদুবিদ্যা ও জ্যোতিষী শাস্ত্রে, ভালবাসার আরক (love potion) ও তাবিজ-কবজ (talisman) তৈরিতে। বাইবেলের কিছু কিছু ভাষ্যকারের মতে, জেনেসিসের (Genesis) ২৩:১৪ বাক্যটিতে অমায়িক সংখ্যার ইঙ্গিত পাওয়া যায়, যেখানে বর্ণিত আছে ইয়াকুব কর্তৃক তাঁর ভ্রাতা ঈসাউকে ২২০টি ছাগল উপহার দেয়ার কথা। নব্য-প্লেতোনিয় দার্শনিক আয়ামব্লিকাস (আনু. ২৫০-৩৩০ খ্রি.)-এর মতে, পীথাগোরাস অমায়িক সংখ্যার ব্যাপারে অবগত ছিলেন। পীথাগোরিয়ানরা এদের উপর নানা অতিন্দ্রীয় রহস্যময় গুণ আরোপ করত বলে

একিলিস–কচ্ছপ এবং আলেফ–নাল

থেসালি
থেসালি নগরীর উপকণ্ঠে, ঈজিয়ান সাগরের তীরে একদা রোদ পোহাচ্ছিল একিলিস। মনটা বেশ ফুরফুরে তার, টানা সপ্তম বারের মতো অলিম্পিক দৌঁড়ে জিতেছে কিছুদিন আগে, জলপাই পাতার মুকুটটি তরতাজা এখনও। ঠোঁটের কোনে তার প্রাচীন গ্রিক সঙ্গীতের গুনগুন, মাঝেমাঝে সে নেড়েচেড়ে দেখছে জলপাতার মুকুট। এমন সময় পণ্ডিত চেহারার এক কচ্ছপ এসে হাজির হল তার কাছে।

“কী চাস?” অবজ্ঞাভরে তাকায় একিলিস। মেজাজ খানিকটা চড়ে উঠে তার, কচ্ছপ ব্যাটা রোদটা একেবারে আড়াল করে ফেলেছে।
“তোমাকে নাকি সবাই ক্ষীপ্র পায়ের একিলিস, Achilles of the nimble feet, বলে?”
“তো?” চোখের ভ্রু’র পেশীগুলি নড়েচড়ে উঠে একিলিসের।
“তারা ভুল বলে,” কচ্ছপের ঠোঁটে দুষ্টু হাসি। “আমি তোমাকে দৌড়ে হারিয়ে দিতে পারি।”

গণিতের নোবেল, আবেল পুরস্কার

নোবেল ও আবেল পুরস্কার

ডাইনামাইট আবিষ্কার করার সুইডিশ রসায়নবিদ আলফ্রেড নোবেল (Alfred Nobel) আশাবাদী হয়ে উঠলেন, পৃথিবীতে যুদ্ধ-হানাহানির অবসান ঘটতে যাচ্ছে। বিবদমান দুটি সৈন্যদল যখন উপলব্ধি করবে এক নিমেষে তারা পরস্পরকে ধ্বংস করতে সক্ষম, তখন পৃথিবীর সভ্য জাতিগণ নিশ্চয়ই তাদের সেনাবাহিনী রাখার প্রয়োজনীয়তা অনুভব করবে না আর। কিন্তু পরিহাস, জীবনের শেষ দিনগুলোতে পৃথিবীতে শান্তি দেখে যাননি নোবেল; তার একটি বড় কারণ, ডাইনামাইট! মৃত্যুর পর তাঁর উইল শুনে বিস্মিত হয় পৃথিবীর মানুষ—সারা জীবনের অর্জিত বিশাল সম্পদের প্রায় পুরোটা তিনি দিয়ে গিয়েছেন সাহিত্য, পদার্থ, রসায়ন, শারীরবৃত্ত/চিকিৎসা এবং শান্তিতে মানবতার কল্যাণে বৃহত্তর অবদানের পুরস্কার হিসেবে।

নোবেলের তালিকায় গণিতের নাম নেই, এ আরেক বিস্ময়। মহান মানুষদের ব্যক্তিগত জীবনকে প্রশ্নবিদ্ধ করার সুযোগ কিংবা সম্ভাবনা অনেককে আনন্দিত করে, কাজেই একটি গুজব চালু হয়ে যায় দ্রুত—কোনো এক গণিতবিদের

অধিবর্ষের আদি-অন্ত

অধিবর্ষ বা লিপইয়ার (Leap year)

২০১২ সালটা হবে লিপইয়ার এটা আমরা সবাই জানি। সাধারণ সৌর বছরগুলি ৩৬৫দিনে হয়ে থাকে কিন্তু লিপইয়ার হয় ৩৬৬দিন। এই অতিরিক্ত ১দিন ফোব্রুয়ারি মাসে যোগ করে ২৯দিনে ফেব্রুয়ারি মাস গোনা হয়। বর্তমানে আমরা যেই ক্যালেন্ডার ব্যবহার কি সেটি হচ্ছে গ্রেগরীয় ক্যালেন্ডার। এই ক্যালেন্ডার অনুযায়ী ৪ বছর পর পর ফেব্রুয়ারি মাসে অতিরিক্ত একটি দিন যোগ করে আমরা তাকে অধিবর্ষ বা লিপইয়ার বলি।

কিন্তু কেন এই লিপইয়ার? 

আমরা হিসাব করি ৩৬৫ দিনে এক বছর অর্থাৎ পৃথিবী সূর্যের চার দিকে একবার ঘুরে আসে ৩৬৫ দিনে। কিন্তু বছরের প্রকৃত দৈর্ঘ্য হলো ৩৬৫ দিন ৫ ঘণ্টা ৪৮ মিনিট ৪৬ সেকেন্ড , অর্থাৎ পৃথিবীর এই সময়টুকু লাগে সূর্যকে একবার প্রদক্ষিণ করতে। তাহলে দেখা যাচ্ছে প্রতি বছর আমরা ৫ ঘণ্টা ৪৮ মিনিট ৪৬ সেকেন্ড সময় পিছিয়ে যাচ্ছি হিসেবে না ধরার দরুন। ফলে চার বছর পরে এই বাদ যাওয়া সময়টুকু প্রায় ২৪ ঘণ্টায় পরিণত হয় আর সেই ২৪ ঘণ্টাকে সমন্বয় করার জন্যই লিপইয়ারের আবিষ্কার।

লিপইয়ারের প্রচলন

আগেই বলেছি বছরের প্রকৃত দৈর্ঘ্য হলো ৩৬৫ দিন ৫ ঘণ্টা ৪৮ মিনিট ৪৬ সেকেন্ড। কিন্তু খ্রিষ্টপূর্ব ৪৬ সালে রোমান সম্রাট জুলিয়াস সিজার এবং তার সহকারী জ্যোতির্বিদ সোসিজেনিস ৩৬৫ দিনে এক বছর হবে বলে

Zeller's congruence

Zeller's congruence is an algorithm devised by Christian Zeller to calculate the day of the weekfor any Julian or Gregorian calendar date. It can be considered to be based on the conversion between Julian day and the calendar date.

For the Gregorian calendar, Zeller's congruence is

${\displaystyle h=\left(q+\left\lfloor {\frac {13(m+1)}{5}}\right\rfloor +K+\left\lfloor {\frac {K}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {J}{4}}\right\rfloor -2J\right){\bmod {7}},}$

for the Julian calendar it is

${\displaystyle h=\left(q+\left\lfloor {\frac {13(m+1)}{5}}\right\rfloor +K+\left\lfloor {\frac {K}{4}}\right\rfloor +5-J\right){\bmod {7}},}$

where

• h is the day of the week (0 = Saturday, 1 = Sunday, 2 = Monday, ..., 6 = Friday)
• q is the day of the month
• m is the month (3 = March, 4 = April, 5 = May, ..., 14 = February)

Peloponnesian War

ডোরীয়দের পেছন পেছন আসবে রক্তক্ষয়ী যুদ্ধ এক, আর আসবে মৃত্যু।
—পেলোপনিসীয় যুদ্ধের প্রাক্কালে এথেন্সে প্রচলিত সাবধানবাণী।


“আগামীকাল প্রত্যুষেই যাত্রা শুরু করবেন আপনারা,” অ্যাক্রোপলিসের অভ্যন্তরে নৈশকালীন অধিবেশনটিতে শান্তভাবে তার নির্দেশ ঘোষণা করল পেরিক্লিস। “ক্ষীপ্রগতির পাঁচটি ত্রিসারদাঁড়ি রণতরী সুসজ্জিত হয়ে অপেক্ষা করছে পাইরিয়াস বন্দরে। কেয়া ও কিথনোস দ্বীপের মধ্যবর্তী জলপথ ধরে এগুবেন আপনারা, সিরোস দ্বীপের উপকূল ঘেঁষে অর্ধবৃত্তাকার বাঁক নিয়ে সোজা পৌঁছবেন ডিলোসে। ঘন্টায় আশি স্টেডিয়া হিসেবে আগামীকাল রাতের মধ্যেই আপনারা পৌঁছে যাবেন সেখানে। যাজিনীদের শাস্ত্রীয় আচারাদি সাবধানতার সাথে সম্পন্ন করে, মন্দিরের বেদীতে বহুমূল্য উপঢৌকন অর্পণ করে, বিনম্র প্রশ্ন রাখবেন, ভয়ঙ্কর এ মহামারী থেকে পরিত্রাণ পেতে এথেন্সের প্রায়শ্চিত্ত কী।”

বয়স্য মানুষ তিনজনের দিকে তাকায় পেরিক্লিস, ডিলোস

Geometric Probability

বুগেই নামক ফরাসি বিস্কুট নিয়ে নিজ বাসগৃহে অদ্ভুত এক পরীক্ষা চালান ফ্রান্সের লুই লেকলার্ক কমতে দ্য ব্যুফন। হাতে বুগেই ধরে বৈঠকখানার দরজায় এসে দাঁড়ান ব্যুফন, তারপর কাঁধের উপর দিয়ে সেটি ছুঁড়ে মারেন পেছন দিকে, বৈঠকখানার ভেতরে। দরজা থেকে সরে এসে বুগেই খুঁজতে থাকেন তিনি, পাবার পর দেখে নেন কোথায় পড়েছিল তা। আয়তকার ফালিফালি তক্তা গায়েগায়ে ঠেকিয়ে বৈঠকখানার মেঝে মোড়ানো, তাদের পারস্পরিক সংযোগস্থলে হালকা চিড়। খাতায় টালিচিহ্নের সাহায্যে লিখে রাখেন ব্যুফন: কত বার তিনি বুগেই ছুঁড়লেন আর তাদের মাধ্যে কত বার বুগেইটি চিড়ের উপর পড়ল।

বেশ কিছুক্ষণ পরপর টালি যোগ করে যথাযথ সংখ্যাগুলো লিখে রাখছেন, সাড়ে তিন ঘন্টা পর নিচের টেবিলটি তৈরি হলো:

টেবিলের দিকে তাকিয়ে খানিকক্ষণ কী ভাবেন ব্যুফন, তারপর ডানপাশে আরও দুটি কলাম যোগ করে সেখানে কিছু ভাগের কাজ করেন:

সর্ব ডানের কলাম দেখে ভূত দেখার মতোই চমকে উঠেন ব্যুফন, π = ৩.১৪১৫৯২…! ফ্রান্সের ঐতিহ্যবাহী লাঠিবিস্কুট