পারফেক্ট নাম্বার
সেই সমস্ত সংখ্যাকে Perfect number বলা হয়, যখন সেই সংখ্যার সকল factor (সংখ্যা অপেক্ষা ছোট) গুলির সমস্টি সেই সংখ্যাটির সমান হয়।
যেমন ৬ একটি Perfect number, কারণঃ ৬ = ১+২+৩।
এমনি ভাবে আরো কিছু Perfect number এর উদাহরন হচ্ছে
২৮ = ১+২+৪+৭+১৪
৪৯৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩১+৬২+১২৪+২৪৮
৮১২৮ = ১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৭+২৫৪+৫০৮+১০১৬+২০৩২+৪০৬৪।
৩৩৫৫০৩৩৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৮+২৫৬+৫১২+১০২৪+২০৪৮+৪০৯৬+৮১৯১
+১৬৩৮২+৩২৭৬৪+৬৫৫২৮+১৩১০৫৬+২৬২১১২+৫২৪২২৪+১০৪৮৪৪৮+২০৯৬৮৯৬+৪১৯৩৭৯২
+৮৩৮৭৫৮৪+১৬৭৭৫১৬৮।
তাছাড়া ৮৫৮৯৮৬৯০৫৬, ১৩৭৪৩৮৬৯১৩২৮, ২৩০৫৮৪৩০০৮১৩৯৯৫২১২৮ এরাও Perfect number।
Perfect number খুঁজে বের করার একটি সূত্র রয়েছে। সূত্রটি ব্যবহার করে অনেকগুলি Perfect number খুব সহজেই বের করা যায়। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)×(২^p − ১) এখানে p হচ্ছে prime number. এবার আসুন দেখি সত্যি সত্যিই এই সূত্র ব্যবহার করে Perfect number পাওয়া যায় কিনা দেখি।
p = ২: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(২−১)×(২^২ − ১) = ২×৩ = ৬
p = ৩: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৩−১)×(২^৩ − ১) = ৩×৭ = ২৮
p = ৫: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৫−১)×(২^৫ − ১) = ১৬×৩১ = ৪৯৬
p = ৭: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৭−১)×(২^৭ − ১) = ৬৪×১২৭ = ৮১২৮
তাহলে কি প্রতিটি prime number-ই p এর স্থানে বসালে একটি করে Perfect number পাওয়া যাবে?
না, পাওয়া যাবে না। তবে যে সমস্ত prime number ব্যাবহার করে Perfect number পাওয়া যাবে তাদের একটি লিস্ট এখানে দেখাতে পারি।
p = ২, ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৭, ১৯, ৩১, ৬১, ৮৯, ১০৭, ১২৭, ৫২১, ৬০৭, ১২৭৯, ২২০৩, ২২৮১, ৩২১৭, ৪২৫৩, ৪৪২৩, ৯৬৮৯, ৯৯৪, ১১২১৩, ১৯৯৩৭, ২১৭০১, ২৩২০৯, ৪৪৪৯৭, ৮৬২৪৩, ১১০৫০৩, ১৩২০৪৯, ২১৬০৯১, ৭৫৬৮৩৯, ৮৫৯৪৩৩, ১২৫৭৭৮৭, ১৩৯৮২৬৯, ২৯৭৬২২১, ৩০২১৩৭৭, ৬৯৭২৫৯৩, ১৩৪৬৬৯১৭, ২০৯৯৬০১১, ২৪০৩৬৫৮৩, ২৫৯৬৪৯৫১, ৩০৪০২৪৫৭, ৩২৫৮২৬৫৭, ৩৭১৫৬৬৬৭, ৪২৬৪৩৮০১, ৪৩১১২৬০৯ ইত্যাদি।
মজার বিষয় হচ্ছে প্রতিটি Perfect number-ই এক একটি ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার
(Triangular Number)
যেমনঃ ৬ = ১+২+৩।
২৮ = ১+২+৩+৪+৫+৬+৭।
৪৯৬ = ১+২+৩+……………+২৯+৩০+৩১।
৮১২৮ = ১+২+৩+……………+১২৬+১২৬+১২৭।
Perfect number-এর আরো একটি মজা রয়েছে। চাইলে (প্রথমটি ছাড়া) প্রতিটি Perfect number-কে শুধুমাত্র ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার কিউবের সমস্টি হিসেবে দেখানো যায়। যেমন
২৮ = ১^৩+৩^৩
৪৯৬ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩
৮১২৮ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩+৯^৩+১১^৩+১৩^৩+১৫^৩
কতোটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের সমস্টি একটি Perfect number-হবে তা জানার জন্য আমরা একটি সূত্র ব্যবহার করতে পারি। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)/২। এখানে P এর মান উপরের Perfect number বের করার যে সূত্র {২^(p−১)×(২^p − ১)} করেছি সেখানকার P এর মানের সমান। অর্থাৎ যখন সূত্র ব্যবহার করে ২৮কে বের করেছি তখন P এর মান ছিলো ৩। তাই ২৮ এর জন্য ২^(p−১)/২ = ২^(৩−১)/২ = ২^২/২ = ২^১ = ২। সুতরাং ২৮ বের করতে হলে ২টি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের সমস্টি করতে হবে। বাকি গুলিও এবাবেই বের করা সম্ভব হবে।
Credit: Ganitpathsala
সেই সমস্ত সংখ্যাকে Perfect number বলা হয়, যখন সেই সংখ্যার সকল factor (সংখ্যা অপেক্ষা ছোট) গুলির সমস্টি সেই সংখ্যাটির সমান হয়।
যেমন ৬ একটি Perfect number, কারণঃ ৬ = ১+২+৩।
এমনি ভাবে আরো কিছু Perfect number এর উদাহরন হচ্ছে
২৮ = ১+২+৪+৭+১৪
৪৯৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩১+৬২+১২৪+২৪৮
৮১২৮ = ১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৭+২৫৪+৫০৮+১০১৬+২০৩২+৪০৬৪।
৩৩৫৫০৩৩৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৮+২৫৬+৫১২+১০২৪+২০৪৮+৪০৯৬+৮১৯১
+১৬৩৮২+৩২৭৬৪+৬৫৫২৮+১৩১০৫৬+২৬২১১২+৫২৪২২৪+১০৪৮৪৪৮+২০৯৬৮৯৬+৪১৯৩৭৯২
+৮৩৮৭৫৮৪+১৬৭৭৫১৬৮।
তাছাড়া ৮৫৮৯৮৬৯০৫৬, ১৩৭৪৩৮৬৯১৩২৮, ২৩০৫৮৪৩০০৮১৩৯৯৫২১২৮ এরাও Perfect number।
Perfect number খুঁজে বের করার একটি সূত্র রয়েছে। সূত্রটি ব্যবহার করে অনেকগুলি Perfect number খুব সহজেই বের করা যায়। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)×(২^p − ১) এখানে p হচ্ছে prime number. এবার আসুন দেখি সত্যি সত্যিই এই সূত্র ব্যবহার করে Perfect number পাওয়া যায় কিনা দেখি।
p = ২: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(২−১)×(২^২ − ১) = ২×৩ = ৬
p = ৩: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৩−১)×(২^৩ − ১) = ৩×৭ = ২৮
p = ৫: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৫−১)×(২^৫ − ১) = ১৬×৩১ = ৪৯৬
p = ৭: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৭−১)×(২^৭ − ১) = ৬৪×১২৭ = ৮১২৮
তাহলে কি প্রতিটি prime number-ই p এর স্থানে বসালে একটি করে Perfect number পাওয়া যাবে?
না, পাওয়া যাবে না। তবে যে সমস্ত prime number ব্যাবহার করে Perfect number পাওয়া যাবে তাদের একটি লিস্ট এখানে দেখাতে পারি।
p = ২, ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৭, ১৯, ৩১, ৬১, ৮৯, ১০৭, ১২৭, ৫২১, ৬০৭, ১২৭৯, ২২০৩, ২২৮১, ৩২১৭, ৪২৫৩, ৪৪২৩, ৯৬৮৯, ৯৯৪, ১১২১৩, ১৯৯৩৭, ২১৭০১, ২৩২০৯, ৪৪৪৯৭, ৮৬২৪৩, ১১০৫০৩, ১৩২০৪৯, ২১৬০৯১, ৭৫৬৮৩৯, ৮৫৯৪৩৩, ১২৫৭৭৮৭, ১৩৯৮২৬৯, ২৯৭৬২২১, ৩০২১৩৭৭, ৬৯৭২৫৯৩, ১৩৪৬৬৯১৭, ২০৯৯৬০১১, ২৪০৩৬৫৮৩, ২৫৯৬৪৯৫১, ৩০৪০২৪৫৭, ৩২৫৮২৬৫৭, ৩৭১৫৬৬৬৭, ৪২৬৪৩৮০১, ৪৩১১২৬০৯ ইত্যাদি।
মজার বিষয় হচ্ছে প্রতিটি Perfect number-ই এক একটি ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার
(Triangular Number)
যেমনঃ ৬ = ১+২+৩।
২৮ = ১+২+৩+৪+৫+৬+৭।
৪৯৬ = ১+২+৩+……………+২৯+৩০+৩১।
৮১২৮ = ১+২+৩+……………+১২৬+১২৬+১২৭।
Perfect number-এর আরো একটি মজা রয়েছে। চাইলে (প্রথমটি ছাড়া) প্রতিটি Perfect number-কে শুধুমাত্র ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার কিউবের সমস্টি হিসেবে দেখানো যায়। যেমন
২৮ = ১^৩+৩^৩
৪৯৬ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩
৮১২৮ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩+৯^৩+১১^৩+১৩^৩+১৫^৩
কতোটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের সমস্টি একটি Perfect number-হবে তা জানার জন্য আমরা একটি সূত্র ব্যবহার করতে পারি। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)/২। এখানে P এর মান উপরের Perfect number বের করার যে সূত্র {২^(p−১)×(২^p − ১)} করেছি সেখানকার P এর মানের সমান। অর্থাৎ যখন সূত্র ব্যবহার করে ২৮কে বের করেছি তখন P এর মান ছিলো ৩। তাই ২৮ এর জন্য ২^(p−১)/২ = ২^(৩−১)/২ = ২^২/২ = ২^১ = ২। সুতরাং ২৮ বের করতে হলে ২টি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের সমস্টি করতে হবে। বাকি গুলিও এবাবেই বের করা সম্ভব হবে।
Credit: Ganitpathsala